Dəyişikliklər və simmetriyaSimmetriya qrupları və divar kağızları

Bəzi şekillerdə birdən çox simmetriya var - meydanda sadə bir nümunə olaraq nəzər salaq.

Artıq yuxarıda göstərmisiniz ki, bir kvadrat ox əksinə malikdir.

Ayrıca °, ° və ° ilə fırlanma simmetriyası var.

Və nəhayət, simmetriyanın başqa bir xüsusi növü kimi "heç nə etməmək" barədə düşünə bilərik - çünki nəticə əvvəlkindən eynidir. Buna bəzən şəxsiyyət deyilir.

Ümumilikdə, fərqli "meydanın simmetriyasını" tapdıq.

İndi bu simmetriyalarla həqiqətən bir arifmetika etməyə başlaya bilərik. Məsələn, yenilərini almaq üçün iki simmetriya əlavə edə bilərik:

+=

+=

Bir kvadratın iki simmetriyasını əlavə etdiyiniz zaman yenisini alırsınız. Budur özünüzü sınaya biləcəyiniz bir "simmetriya kalkulyatoru":

+

=

×

+

+

+

+

+

+

+

+

Simmetriya kalkulyatoru ilə birlikdə oynamağa bir az vaxt sərf edin və hər hansı bir nümunə tapmağa çalışın. Bu müşahidələri tamamlaya bilərsinizmi?

• İki rotasiya əlavə etmək hər zaman verəcəkdir bir əks (və ya şəxsiyyət). * İki əksini əlavə etmək hər zaman verəcəkdir bir əks (və ya şəxsiyyət). * Eyni qaydada eyni iki simmetriyi əlavə etmək bəzən fərqli verir həmişə fərqli verir həmişə eyni nəticə . * Şəxsiyyət əlavə etmək heç bir şey etmir bir əks qaytarır əksini qaytarır .

Əlavə etməyi artıq başa düşə bilərdiniz simmetriyalar əslində əlavə etməyə çox oxşardır tam ədədlər :

1. Adding two symmetries/integers always gives another symmetry/integer:
   +=
   12+7=19
   Continue
2. Adding symmetries/integers is associative:
   ++=++
   4+2+5=4+2+5
   Continue
3. Every symmetry/integer has an inverse, another symmetry/integer which, when added, gives the identity:
   +=
   4+–4=0
   Continue

Riyaziyyatda bu xüsusiyyətlərə sahib olan hər hansı bir kolleksiya qrup adlanır. Bəzi qruplar (kimi.) bir kvadratın simmetriyaları ) yalnız sonlu sayda elementə malikdir. Digərləri (kimi.) tam ədədlər ) sonsuzdur.

Bu nümunədə meydanın səkkiz simmetriyasından başladıq. Əslində, hər həndəsi formanın öz simmetriya qrupu var . Hamısının fərqli elementləri var, ancaq yuxarıdakı üç qaydanı həmişə yerinə yetirirlər.

Riyaziyyatda hər yerdə qruplar görünür. Elementlər ədəd və ya simmetriya ola bilər, eyni zamanda çoxbucaqlılar, dəyişmələr, matrislər, funksiyalar ... üç qaydaya əməl edən hər şey . Qrup nəzəriyyəsinin əsas fikri, ayrı-ayrı elementlərin bir-biri ilə necə qarşılıqlı əlaqədə olmaları ilə maraqlanmamağımızdır.

Məsələn, fərqli molekulların simmetriya qrupları elm adamlarına uyğun materialların xüsusiyyətlərini təxmin etməyə və izah etməyə kömək edə bilər.

Qruplardan, stolüstü oyunlarda qazanılmış strategiyanı, tibbdəki virusların davranışını, musiqidəki fərqli harmoniyaları və bir çox digər anlayışları təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər ...

CCl ₄ molekulunun (solda) və Adenovirusun (sağda) xüsusiyyətləri simmetriyaları ilə müəyyən edilir.

Divar kağızları qrupları

Əvvəlki hissələrdə iki fərqli çevrilməyə uyğun olan iki fərqli simmetriyanı gördük: fırlanma və əks. Ancaq üçüncü növ sərt çevrilmə üçün bir simmetriya da var: tərcümələr fırlanır uçurur .

Tərcümə simmetriyası çiçəklər və ya kəpənəklər kimi təcrid olunmuş cisimlər üçün işləmir, ancaq hər tərəfə uzanan müntəzəm naxışlar üçündür:

Altıbucaqlı honyekomb

Seramik divar plitələr

Yansıtıcı, fırlanma və tərcümə simmetriyasına əlavə olaraq, dördüncü bir növ də var: sürüşmə əks etdirmələri . Bu əks və oxun eyni istiqamətdə bir tərcüməsidir.

Bir naxış simmetriyanın birdən çox növünə sahib ola bilər. Eynilə meydanlarda olduğu kimi, bütün fərqli simmetriyalarını özündə ehtiva edən bir naxışın simmetriya qrupunu tapa bilərik.

Bu qruplar naxışın necə göründüyü (məsələn, rəngləri və formaları), necə təkrarlandığı haqqında çox şey söyləmir. Çox fərqli naxışlar eyni simmetriya qrupuna sahib ola bilər - uzun müddət eyni şəkildə təkrarlanır və təkrarlanır.

Bu iki naxış çox fərqli görünsələr də eyni simmetriyalara malikdir. Ancaq simmetriya rənglər və ya səthi formalara aid deyil.

Bu iki naxış eyni simmetriyalara malikdir - bir-birlərinə nisbətən soldakı müvafiq naxışlara daha çox bənzəyirlər.

Məlum olur ki, sonsuz sayda çox naxış olsa da, hamısının cəmi 17 fərqli simmetriya qrupundan biri var. Bunlara divar kağızları qrupları deyilir. Hər divar kağızı qrupu tərcümə, dönmə, əks və sürüşmə əks birləşmələri ilə müəyyən edilir. Bu nümunələrdə fırlanma mərkəzlərini və əks oxlarını görə bilərsinizmi ?

Group 1 – P1

Only translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p2.svg" width=360, height=240) p.caption Group 2 – P2
Rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p3.svg" width=360, height=240) p.caption Group 3 – P3
Rotations of order 3 (120°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4.svg" width=360, height=240) p.caption Group 4 – P4
Four rotations of order 2 (180°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p6.svg" width=360, height=240) p.caption Group 5 – P6
Rotations of order 2, 3 and 6 (60°), translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 6 – PM
Parallel axes of reflection, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pmm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 7 – PMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 8 – P4M
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p6m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 9 – P6M
Rotations (ord 2 + 6), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p3m1.svg" width=360, height=240) p.caption Group 10 – P3M1
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p31m.svg" width=360, height=240) p.caption Group 11 – P31M
Rotations of order 3, reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/p4g.svg" width=360, height=240) p.caption Group 12 – P4G
Rotations (ord 2 + 4), reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/cmm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 13 – CMM
Perpendicular reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pmg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 14 – PMG
Reflections, glide reflections, rotations of order 2, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 15 – PG
Parallel glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/cm.svg" width=360, height=240) p.caption Group 16 – CM
Reflections, glide reflections, translations div img(src="/resources/transformations/images/wallpapers/pgg.svg" width=360, height=240) p.caption Group 17 – PGG
Perpendicular glide reflections, rotations of order 2, translations

Təəssüf ki, bu qruplardan 17- nin olması üçün sadə bir səbəb yoxdur və bunun daha inkişaf etmiş riyaziyyat tələb olunduğunu sübut etmək. Bunun əvəzinə, 17 divar kağızı qrupunun hər biri üçün öz təkrar nümunələrinizi çəkməyə cəhd edə bilərsiniz:

Examples of other students’ drawings