Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Çoxbucaqlılar və çoxbucaqlılarDərinliklər

Oxumaq vaxtı: ~25 min

Poliqonlar təbiətdə hər yerdə görünür. Böyük bir ərazini kafel etmək istəyirsinizsə, onlar xüsusilə faydalıdır, çünki çoxbucaqlıları boşluqlar və ya üst-üstə düşmədən bir-birinə bağlaya bilərsiniz. Buna bənzər nümunələrə tessellations deyilir.

arı

Sinaloan südlü ilan dərisi

Yarpaqların hüceyrə quruluşu

Şimali İrlandiyadakı Giant's Causeway-da bazalt sütunları

Ananas dərisi

Bir tısbağanın qabığı

İnsanlar bu təbii naxışların bir çoxunu sənətdə, memarlıqda və texnologiyada - qədim Romadan tutmuş bu günə qədər köçürmüşlər. Bir neçə nümunə:

səki naxışı

İngiltərədəki Eden Layihəsində istixana

Alhambra'da mozaika

Londondakı Britaniya Muzeyindəki çatı

Sidneydəki hüceyrə boşaltma pavilyonu

Sürünənlər ilə təyyarənin nizamlı bölgüsünün öyrənilməsi , MC Escher

Burada müntəzəm çoxbucaqlılardan istifadə edərək öz tessellations yarada bilərsiniz. Sadəcə, yeni şekilleri yan çubuğundan kətan üzərinə sürün. Hansı tessellate forması yaxşıdır? Heç bir şəkildə tərpənməyən formalar varmı? Maraqlı naxışlar yaratmağa çalışın!

Examples of other students’ tessellations

Mütəmadi çoxbucaqlılardan hazırlanan boşqablar

Bəzi müntəzəm çoxbucaqlıları ( kimi) ) asanlıqla tessellate edir, digərləri ( kimi) ) ümumiyyətlə tessellate kimi görünmür.

Bunun əvvəlcədən hesablamağı öyrəndiyimiz daxili açılarının ölçüsü ilə əlaqəsi var. Tessellation'ın hər bir ucunda çox fərqli çoxbucaqlıların daxili açıları qarşılaşır. ° -ə qədər əlavə etmək üçün bu açıların hamısına ehtiyacımız var, əks halda ya boşluq olacaq, ya da üst-üstə düşəcəkdir.

triangles

Üçbucaqlar çünki 6 × 60° = 360°.

squares

Kvadratlar çünki 4 × 90° = 360°.

pentagons

Pentaqonlar çünki 108° çoxluğu 360° -ə çatmır.

hexagons

Altıbucaqlı çünki 3 × 120° = 360°.

Eyni şəkildə, beşbucaqlar kimi, 7 və ya daha çox tərəfi olan hər hansı bir adi çoxbucağın tessellate etmədiyini yoxlaya bilərsiniz. Bu o deməkdir ki, tessellate edən müntəzəm çoxbucaqlılar üçbucaqlar, kvadrat və altıbucaqlılardır!

Əlbəttə ki, daxili müntəzəmlik 360° -ə qədər əlavə olacağı təqdirdə müxtəlif növ çoxbucaqlı birləşmələri birləşdirə bilərsiniz.

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

Düzensiz çoxbucaqlılardan hazırlanan boşqablar

Düzəlməz çoxbucaqlılardan kənarlaşdırma işlərini də cəhd edə bilərik - onları fırladarkən və düzəldərkən diqqətli olacağıq.

Belə çıxır ki, yalnız bərabər tərəfli üçbucaqları deyil, istənilən üçbucağı da tərtib edə bilərsiniz! Bu diaqramdakı ucları hərəkət etdirməyə çalışın.

Üçbucaqdakı daxili açıların cəmi ° -dir. Hər bucağı istifadə etsək döngənin hər ucunda 360° qazanırıq:

Daha təəccüblüsü, hər dörd tərəfli də tessellates! Onların daxili açı bucağı ° -dir, buna görə hər bucağı istifadə etsək tessellation hər vertex , biz 360° əldə.

Pentaqonlar bir az hiyləgərdir. Artıq gördük ki, müntəzəm pentaqonlar , lakin qeyri-müntəzəm olanlar haqqında nə demək olar?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

Budur, beşbucaqlı işarələrin üç fərqli nümunəsi. Onlar nizamlı deyillər, lakin mükəmməl etibarlı 5 tərəfli çoxbucaqlıdırlar.

İndiyə qədər riyaziyyatçılar yalnız (konveks) pentaqonları olan 15 müxtəlif növ boşluq tapdılar. Ən sonu 2015-ci ildə kəşf edildi. Başqasının olub olmadığını və ya bu 15-nin tək olub olmadığını heç kim bilmir ...

İncəsənətdəki məşğələlər

Tessellations həm bir çox sənətkar, həm memar, həm də dizayner üçün bir vasitə və bir ilhamdır - ən məşhuru Hollandiyalı rəssam MC Escher . Escher'in əsərində qəribə, mutasiya edən canlılar, naxışlar və mənzərələr var:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

Bu sənət əsərləri çox vaxt əyləncəli və səysiz görünür, lakin əsas riyazi prinsiplər əvvəlkilərlə eynidır: açılar, dönüşlər, tərcümələr və çoxbucaqlılar. Riyaziyyat düzgün deyilsə, imtahan işə yaramır!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

Penrose Tilings

İndiyə qədər gördüyümüz bütün boşluqlarda ortaq bir şey var: onlar dövri xarakter daşıyır . Demək ki, bunlar təkrar-təkrar təkrarlanan adi bir naxışdan ibarətdir. Hər istiqamətdə əbədi davam edə bilərlər və hər yerdə eyni görünəcəklər.

1970-ci illərdə İngilis riyaziyyatçısı və fiziki Roger Penrose qeyri-dövri tessellations kəşf etdi - onlar hələ də bütün istiqamətlərdə sonsuz olaraq davam edirlər, lakin heç vaxt eyni görünməzlər. Bunlara Penrose plitələri deyilir və birini yaratmaq üçün yalnız bir neçə müxtəlif növ çoxbucaqlı lazımdır:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

Penrose, əyləncələr üçün sırf kəşfiyyat işləri aparırdı, lakin məlum olur ki, bəzi həqiqi materialların (alüminium kimi) daxili quruluşu bənzər bir nümunəni izləyir. Nümunə hətta tualet kağızı üzərində də istifadə edilmişdir, çünki istehsalçılar dövri olmayan bir naxışın heç bir qabarıqlıq olmadan yuvarlana biləcəyini qeyd etdilər.