Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Çoxbucaqlılar və çoxbucaqlılarDördrilaterallar

Oxumaq vaxtı: ~50 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Əvvəlki kursda üçbucaqların fərqli xüsusiyyətlərini araşdırdıq. İndi dördbucaqlılara nəzər salaq.

Daimi dörd tərəfli bir deyilir . Onun tərəflərinin hamısı eyni uzunluğa malikdir və bütün açıları bərabərdir.

Bir kvadrat dörd bərabər tərəfdörd bərabər açı ilə dörd tərəflidir .

Bir az "daha az müntəzəm" dördrilaterallar üçün iki seçimimiz var. Yalnız açıların bərabər olmasını istəyiriksə, bir düzbucaqlı alırıq. Yalnız tərəflərin bərabər olmasını istəyiriksə, bir romb alırıq.

Düzbucaq dörd bərabər bucaqlı dördbucaqlıdır.

Bir Rhombus dörd bərabər tərəfli dördbucaqlıdır.

Daha az müntəzəm, lakin hələ də müəyyən vacib xüsusiyyətlərə malik olan bir neçə başqa dördbucaqlı var:

Qarşı tərəflərin hər iki cütü paraleldirsə , Paraleloqram əldə edirik.

Qonşu tərəflərin iki cütü eyni uzunluğa malikdirsə, biz Bir uçurtma alırıq.

Ən azı bir cüt qarşı tərəf paralel olarsa, Trapezium alırıq.

Dördrilaterallar bu kateqoriyadan çoxuna düşə bilər. Venn diaqramı olaraq müxtəlif növ dördbucaqlıların iyerarxiyasını görüntüləyə bilərik:

Məsələn, hər düzbucaqlı və hər bir da uçurtmadır. Bir romb bir kvadrat və bir düzbucaqlı bir trapezium.

Hər hansı bir qeyri-müəyyənliyin qarşısını almaq üçün ümumiyyətlə yalnız ən xüsusi növdən istifadə edirik.

İndi dörd nöqtəni, soldakı boz qutuda seçin. Hamısını dörd tərəfli bir forma yaratmaq üçün birləşdirə bilərik.

Dörd tərəfin hər birinin orta nöqtəsini tapaq. Orta nöqtələri birləşdirsək, oluruq .

Xarici dördbucaqlıların uclarını hərəkət etdirməyə çalışın və daha kiçik olanın nə olacağını müşahidə edin. Göründüyü kimi, hər hansı bir dörd tərəfli deyil, həmişə !

Bəs niyə davadır? Niyə hər dörd tərəfli üçün nəticə həmişə paraleloqram olmalıydı? Bizə izah etməyə kömək etmək üçün orijinal dördbucağın diaqonallarından birini çəkməliyik.

Diaqonal dörd tərəfli hissəni iki üçbucağa bölür. İndi daxili tərəfli tərəflərin əslində bu üçbucaqların .

Əvvəlki zamanı biz bir üçbucaq midsegments həmişə onun bazasında paralel ki, göstərdi. Bu vəziyyətdə, bu iki tərəfin də diaqonala paralel olması deməkdir - buna görə də onlar da olmalıdırlar .

Dörd tərəfli ikinci diaqonal ilə eyni şeyi edə bilərik, qarşı tərəflərin hər iki cütü paralel olduğunu göstərə bilərik. Bu, daxili dörd tərəfli bir paraleloqram olduğunu sübut etmək üçün lazım olan şeydir.

Paraleloqramlar

Məlum oldu ki, paraleloqramların əks tərəflərin paralel olmasından başqa bir çox maraqlı xüsusiyyətləri var. Aşağıdakı altı ifadədən hansını doğrudur?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Əlbəttə ki, bu xüsusiyyətlərə sadəcə "baxmaq" kifayət deyil. Onların həmişə doğru olduğundan əmin olmaq üçün onları sübut etməliyik:

Qarşı tərəflər və bucaqlar

Bir paraleloqramdakı əks tərəflərin və açıların hər zaman uyğun olduğunu sübut etməyə çalışaq.

Paraleloqramın diaqonallarından birini çəkərək başlayın.

Diaqonal paraleloqramın tərəfləri ilə dörd yeni açı yaradır. İki qırmızı bucaq və iki mavi bucaq alternativ açılardır , buna görə hər biri olmalıdır .

İndi diaqonalın yaratdığı iki üçbucağa baxsaq görərik ki, onların iki konqresiv bucağı və bir konqresiv tərəfi var . konqres şərti, hər iki üçbucaq da uyğun olmalıdır.

Bu o deməkdir ki, üçbucaqların digər uyğun hissələri də bir-biri ilə uyğun olmalıdır: xüsusən də qarşı tərəflərin hər iki cütü bir-biri ilə , həm də əks açıların hər iki cütü bir- birinə uyğundur.

Konversiya da doğrudur: dörd tərəfli qarşı tərəflərin hər iki cütü (və ya bucaqları) bir-birinə uyğundursa, dörd tərəfli bir paraleloqram olmalıdır.

Diaqonallar

İndi bir paraleloqramdakı iki diaqonalın bir-birini bükdüyünü sübut edin.

Diaqonalların yaratdığı iki sarı üçbucaq barədə düşünək:

  • Bir az paraleloqramın əks tərəfləri olduğu üçün iki yaşıl tərəfin bir- birinə uyğun olduğunu sübut etdik. * İki qırmızı bucaqiki mavi bucaq birləşir, çünki .

vəziyyəti, sarı üçbucağın hər ikisi də uyğun olmalıdır.

İndi nəticəyə gəlmək üçün konqres üçbucağının müvafiq hissələrinin də uyğun olması faktını istifadə edə bilərik AM = CMBM = DM . Başqa sözlə, iki diaqonal orta nöqtələrdə kəsişir.

Əvvəllər olduğu kimi, bunun əksi də doğrudur: dörd tərəfli iki diaqonal bir-birini bisirsə, dörd tərəfli bir paraleloqramdır.

Uçurtmalar

Yuxarıda cüt olduğunu göstərdik bir paraleloqramın tərəfləri bir-birinə uyğundur. Bir uçurtma içərisində iki cüt bitişik tərəf uyğun gəlir.

Uçurtma adı açıq şəkildə formasından irəli gəlir: göydə uça biləcəyiniz uçurtmalara bənzəyir. Lakin, biz bu günə qədər gördük bütün xüsusi quadrilaterals ki, Kite da concave ola bilər ki, yalnız bir: bu bir dart və ya arrow kimi formalaşmasına əgər:

Bir konveks uçurtma

Bir ox kimi görünən konkav uçurtması

Bütün uçurtmaların olduğunu . Simmetriya oxu .

Diaqonal uçurtmanı iki konqresli üçbucağa bölür. Biz SSS vəziyyətindən uyğun olduğunu bilirik: hər iki üçbucağın üç bərabər tərəfi var (qırmızı, yaşıl və mavi).

Buna görə CPOCT istifadə edərək, müvafiq açıların da uyğunlaşmalı olduğunu bilirik.

Bu, məsələn, diaqonalın uclarında iki bucağın .

Daha da irəli gedə bilərik: digər diaqonal çəksək, daha iki, daha kiçik üçbucaq alırıq. Bunlar da SAS vəziyyətinə görə uyğun olmalıdır: eyni tərəfləri və daxil edilmiş bucaqları var .

Bu o deməkdir ki bucaq αbucaq b kimi eyni olmalıdır. Bitişik olduqları üçün həm α, həm də β əlavə bucaqlar ° olmalıdır.

Başqa sözlə, uçurtma diaqonalları həmişə .

Dördrilateralların sahəsi

Əvvəlki kursda üçbucaqların sahəsini hesablayarkən, onu çevirmək hiyləsindən istifadə etdik . Məlum olur ki, bunu bəzi dördrilaterallar üçün də edə bilərik:

Paraleloqram

Solda, paraleloqram ilə eyni sahəsi olan bir düzbucaqlı çəkməyə çalışın.

Solda itkin üçbucağın olduğunu görürsən sağdakı üst-üstə düşən üçbucaqdan ? Buna görə bir paraleloqramın sahəsi

Sahə = baza × hündürlük

Bir paraleloqramın hündürlüyünü ölçərkən diqqətli olun: ümumiyyətlə iki tərəfdən biri ilə eyni deyil.

Trapezium

Xatırladaq ki, trapeziumlar bir cüt paralel tərəfli dördbucaqlıdır. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın əsasları deyilir.

Əvvəllər olduğu kimi, bu trapezi ilə eyni sahəyə sahib olan bir düzbucaqlı çəkməyə çalışın. Sol və sağdakı itkin və əlavə üçbucaqların necə ləğv olunduğunu görə bilərsinizmi?

The bu düzbucağın hündürlüyü trapesiyanın paralel tərəflərinin .

The düzbucağın eni arasındakı məsafədir trapesiyanın iki paralel olmayan tərəfinin . Buna trapeziumun ortalaması deyilir.

Üçbucaqlar kimi, bir trapeziumun ortalaması iki . Orta yarının uzunluğu əsasların uzunluqlarının ortalandır: a+c2 .

Biz bütün bu birləşdirmək, biz paralel tərəflər birc, və hündürlüyü h ilə trapesiya sahəsində bir tənlik almaq:

A=h×a+c2

Uçurtma

Bu uçurtma içərisində, iki diaqonal uçurtma ətrafını əhatə edən geniş bir düzbucağın eni və hündürlüyünü təşkil edir.

Bu düzbucağın sahəsi uçurtma sahəsindən . Uçurtma yaradan dörd üçbucağın hər birinin kənarındakı dörd boşluqla eyni olduğunu görə bilərsinizmi?

Bu, diaqonalları olan bir uçurtmanın sahəsi deməkdir d1 d2 edir

Sahə = 12 d1 × d2 .

Rombus

Bir Rhombus dörd bərabər tərəfli dördbucaqlıdır. Hər bir rombun bir olduğunu xatırlaya bilərsiniz - həm də .

Bu, bir rombusun sahəsini tapmaq üçün ya paraleloqramın sahəsi üçün, ya da uçurtma sahəsi üçün olan tənliyi istifadə edə biləcəyimiz deməkdir:

Sahə = baza × boyu = 12 d1 × d2 .

Fərqli kontekstlərdə bir Rhombusun müxtəlif hissələri (tərəflər, boy, diaqonallar) verilə bilər və hansı tənliyin daha uyğun olduğunu seçməlisiniz.

Archie