Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Çoxbucaqlılar və çoxbucaqlılarPlatonik qatı maddələr

Oxumaq vaxtı: ~35 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Bu kursun əvvəlində müntəzəm çoxbucaqlıları , xüsusən də "simmetrik" çoxbucaqlılar, bütün tərəfləri və bucaqları eyni olduğu təyin etdik. Polyedra üçün oxşar bir şey edə bilərik.

Müntəzəm bir polyhedronda bütün üzlər eyni tipli müntəzəm çoxbucaqlıdır və eyni sayda üzlər hər vertexdə görüşürlər. Bu iki xassəyə sahib olan polyhedra, Yunan filosofu Platonun adını daşıyan Platonik bərk adlanır.

Beləliklə, Platonik bərk cisimlər nəyə oxşayır - və bunların neçəsi var? Üç ölçülü bir forma düzəltmək üçün hər ucunda görüşmək üçün ən azı üzə ehtiyacımız var. Sistematik olaraq ən kiçik müntəzəm çoxbucaqla başlayaq: bərabər tərəfli üçbucaqlar:

Hər bir ucunda üç bərabər tərəfli üçbucağın görüşdüyü bir polyhedron yaratsaq, solda forma alırıq. Tetrahedron adlanır və üzə malikdir. ("Tetra" yunanca "dörd" deməkdir).

Dörd bərabər tərəfli üçbucaq hər dikbaşda görüşərsə, fərqli bir Platonik bərk olur. Oktahedron adlanır və üzə malikdir. ("Octa" yunan dilində "səkkiz" deməkdir. Eynilə "Octagon" 8 tərəfli forma deməkdir, "Octahedron" 8 üzlü bərk deməkdir.)

üçbucaq hər vertexdə görüşsə , Icosahedron alırıq . üzü var. ("Icosa" yunan dilində "iyirmi" deməkdir.)

üçbucaq hər vertexdə qarşılaşırsa, fərqli bir şey olur: biz sadəcə alırıq , əvəzinə üçölçülü bir polyhedron.

Hər bir ucunda yeddi və ya daha çox üçbucaq da yeni polyhedra əmələ gətirmir: bir çoxbucağın ətrafında o qədər üçbucağa uyğun yer yoxdur.

Bu, üçbucaqlardan ibarət Platon qatı tapdığımız deməkdir. Növbəti müntəzəm çoxbucağa keçək: kvadratlar.

kvadrat hər bir ucunda görüşsələr, kubu alırıq. Zərf kimi, üzü var. Kub, bəzən Yunan dilində "altı" üçün "hexa" sözündən sonra _Hexahedron da deyilir._

Hər meydan alırıq . Əvvəlki kimi, beş və ya daha çox meydan da işləməyəcəkdir.

Sonrakı, nizamlı beşbucaqları sınayaq:

pentaqon hər dikdə görüşsəydi , Dodecahedron alırıq . üzü var. ("Dodeca" yunan dilində "on iki" deməkdir.)

Əvvəlki kimi, dörd və ya daha çox beşbucaq kifayət qədər yer olmadığı .

Növbəti müntəzəm çoxbucaqlı altıbucaqlılardır:

Üç altıbucaqlı hər vertexdə görüşərsə, dərhal bir alırıq . Üçdən çox boşluq olmadığına görə, altıbucaqlılardan ibarət Platonic bərk maddələrin olmadığı görünür.

Eyni, altı tərəfdən çox olan bütün müntəzəm çoxbucaqlılarda da eyni vəziyyətdədir. Tessellate etmirlər və əlbəttə ki, üçölçülü çoxbucaqlı almırıq.

Bu, yalnız Platonik qatı var deməkdir! Hamısına birlikdə nəzər salaq:

Tetrahedron

üzlər
Vertices
kənarları

Küp

üzlər
Vertices
kənarları

Oktahedron

üzlər
Vertices
kənarları

Dodecahedron

üzlər
20 Vertices
30 kənarları

Icosahedron

üz
12 Vertices
30 kənarları

Üzlərin və ucların sayının necə diqqət yetirin kub və oktaedr üçün , dodecahedron və icosahedron , kənarlarının sayı . Platon bərk olan bu cütlərə ikiqat bərk deyilir.

Hər bir üzü bir vertekslə, hər bir ucu da bir üzlə "əvəz etməklə" çoxqütbü ikili hala gətirə bilərik. Bu animasiyalar göstərir:

Tetrahedron özü ilə ikiqatdır. Üz və ucları eyni sayda olduğundan onları dəyişdirmək heç nəyi dəyişdirməz.

Platon , Kainatdakı bütün maddələrin dörd elementdən ibarət olduğuna inanırdı: Hava, Yer, Su və Od. Düşünürdü ki, hər bir element Platon qatı birinə uyğundur, beşincisi isə kainatı bütövlükdə təmsil edəcəkdir. Bu gün bilirik ki, polyhedra deyil, sferik atomlardan ibarət 100-dən çox fərqli element var.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arximed Qatılar

Platonik qatılar xüsusilə vacib polyhedradır, lakin saysız-hesabsız başqaları var.

Arximed qatı məsələn, hələ də müntəzəm çoxbucaqlılardan ibarət olmalıdır , ancaq bir çox fərqli növdən istifadə edə bilərsiniz. Onlara başqa bir yunan riyaziyyatçısı, Sirakuzanın Arximedinin adı verilib və onlardan 13-ü var:

Kəsilmiş Tetrahedron
8 üz, 12 ucu, 18 kənarı

Cuboctahedron
14 üz, 12 ucu, 24 kənarı

Kəsilmiş küp
14 üz, 24 uc, 36 kənar

Kəsilmiş Octahedron
14 üz, 24 uc, 36 kənar

Rhombicuboctahedron
26 üz, 24 uc, 48 kənar

Kəsilmiş Cuboctahedron
26 üz, 48 ucu, 72 kənarı

Snub kubu
38 üz, 24 ucu, 60 kənarı

Icosidodecahedron
32 üz, 30 ucu, 60 kənarı

Kəsilmiş Dodecahedron
32 üz, 60 ucu, 90 kənarı

Kəsilmiş Icosahedron
32 üz, 60 ucu, 90 kənarı

Rhombicosidodecahedron
62 üz, 60 ucu, 120 kənarı

Kəsilmiş Icosidodecahedron
62 üz, 120 ucu, 180 kənarı

Snub Dodecahedron
92 üz, 60 ucu, 150 kənarı

Proqramlar

Platon, bütün elementlərin Platon bərklərindən ibarət olduğuna inanmaqda səhv idi. Ancaq müntəzəm polyhedra təbiətdə başqa yerlərdə görünməyə imkan verən bir çox xüsusi xüsusiyyətə malikdir - və bu xüsusiyyətləri elm və mühəndislikdə kopyalaya bilərik.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Bir çox virus , bakteriya və digər kiçik orqanizmlər icosahedra şəklindədir. Məsələn, viruslar öz genetik materiallarını çox sayda eyni protein zülalının qabığına daxil etməlidirlər. İzosahedron bunun ən səmərəli yoludur, çünki bir neçə müntəzəm elementdən ibarətdir, lakin demək olar ki, bir sahə şəklindədir.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Bir çox molekul müntəzəm polyhedra şəklində olur. Ən məşhur nümunədir C60 bir kəsilmiş İcosahedron şəklində qurulmuş 60 karbon atomundan ibarətdir.

1985-ci ildə elm adamları ulduzlararası toz araşdırması zamanı kəşf edildi. Bənzər binaların inşası ilə məşhur olan memar Buckminster Fullerdən sonra onu "Buckyball" (və ya Buckminsterfullerene) adlandırdılar.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

Əksər kristalların atomları tetraedra , kublar və ya oktaedradan ibarət müntəzəm bir şəbəkə şəklində qurulmuşdur . Qırıldıqda və ya parçalandıqda bu formaları daha böyük miqyasda görə bilərsiniz.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedra və oktahedra olduqca sərt və sabitdir, bu da onları tikintidə çox faydalı edir. Kosmik çərçivələr böyük damları və ağır körpüləri dəstəkləyə biləcək çoxbucaqlı quruluşdur.

Football

Polygonal role-playing dice

Platonik bərk də zar yaratmaq üçün istifadə olunur. simmetriyasına görə hər tərəfin eniş ehtimalı yüksəkdir - buna görə zar ədalətli olur.

Kəsilmiş Icosahedron , ehtimal ki, dünyanın ən məşhur polhedrondur : futbolun formasıdır.