Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

FraktallarSierpinski üçbucağı

Oxumaq vaxtı: ~20 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Əvvəlki fəsildə gördüyümüz fraktallardan biri Polşa riyaziyyatçısı Wacław Sierpiński adını daşıyan Sierpinski üçbucağı idi. Bir böyük, bərabər tərəfli üçbucaqdan başlayaraq, sonra mərkəzdən bir neçə dəfə kiçik üçbucaqları kəsərək yarana bilər.

Wacław Sierpiński bu üçbucağın xüsusiyyətləri haqqında düşünən ilk riyaziyyatçı idi, lakin sənət əsərlərində, naxışlarda və mozaikalarda çox əsrlər əvvəl ortaya çıxmışdır.

Romadakı müxtəlif kilsələrin döşəmə plitələrinə dair bəzi nümunələr:

Göründüyü kimi, Sierpinski üçbucağı riyaziyyatın digər sahələrində geniş görünür və onu yaratmaq üçün bir çox müxtəlif yol var. Bu fəsildə onlardan bəzilərini araşdıracağıq!

Paskal üçbucağı

Sierpinski üçbucağını Paskal üçbucağındakı bölümümüzdən xatırlaya bilərsiniz. Bu, hər nömrənin yuxarıdakı iki ədədin cəminə bərabər olduğu bir sıra piramidadır. Aşağıdakı üçbucağında bütün hətta nömrələri Tap, onlara qeyd etmək - və bir model qeyd əgər görmək:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Paskal üçbucağı əbədi olaraq aşağıya davam etdirilə bilər və Sierpinski naxışı daha böyük və daha böyük üçbucaqlarla davam edəcəkdir. Artıq 16 satırdan başlayaraq daha da böyük üçbucağın başlanğıcını görə bilərsiniz.

İki qonşu hüceyrə 2-yə bölünürsə, altındakı hüceyrədəki cəmi də 2-ə bölünməlidir - buna görə yalnız rəngli üçbucaqları (və ya tək hüceyrələri) əldə edə bilərik. Əlbəttə ki, 2-dən başqa ədədlərə bölünən bütün hüceyrələri rəngləndirməyə də cəhd edə bilərik. Sizcə bu hallarda nə olacaq?

Divisible by ${n}:

Burada Paskal üçbucağının ilk 128 cərgəsinin kiçik bir versiyasını görə bilərsiniz. Bölünən bütün hüceyrələri qeyd etdik ${n} - nəyi hiss edirsən?

Hər nömrə üçün Sierpinski üçbucağına bənzər fərqli üçbucaqlı bir naxış alırıq. Mükəmməl bir seçsək nümunə xüsusilə müntəzəmdir . Sayın bir _çox fərqli əsas amili varsa, desen daha təsadüfi görünür._

Xaos oyunu

Burada bərabər tərəfli üçbucağın üç ucunu görə bilərsiniz. Dördüncü nöqtə yaratmaq üçün boz ərazinin hər hansı bir yerinə vurun.

Sadə bir oyun oynayaq: üçbucağın uclarından birini təsadüfi olaraq seçirik, nöqtəmizlə vertex arasında bir xətt seqmenti çəkirik və sonra tapırıq həmin seqmentin orta nöqtəsi .

İndi prosesi təkrarlayırıq: başqa bir təsadüfi ucu seçirik, son nöqtəmizdən seqment çəkirik və sonra tapırıq orta nöqtə . Diqqət yetirin ki, bu yeni nöqtələri seçdiyimiz üçbucağın yuxarısının rənginə əsasən rəngləndiririk.

İndiyə qədər təəccüblü heç nə baş verməyib - ancaq eyni əməliyyatı dəfələrlə təkrarladığımıza baxın:

Bu proses Xaos oyunu adlanır. Başlanğıcda bir neçə səhv nöqtə ola bilər, ancaq eyni addımları dəfələrlə təkrarlasanız, nöqtələrin paylanması Sierpinski üçbucağına bənzəməyə başlayır!

Bunun bir çox başqa versiyası var - məsələn, bir kvadrat və ya beşbucaqla başlaya bilərik, eyni ucu iki dəfə ardıcıl olaraq seçə bilməməyimiz kimi əlavə qaydalar əlavə edə bilərik və ya növbəti nöqtəni nisbətdə ala bilərik başqa 12 seqment boyunca. Bu işlərin bəzilərində nöqtələrin təsadüfi bir paylanmasını əldə edəcəyik, lakin digər hallarda daha çox fraktalları aşkar edirik:

Triangle
Square
Pentagon

və ya qızıl nisbətə əsaslanan bu kəşf etmisinizmi?

Hüceyrə avtomatı

Bir hüceyrə avtomatı çox sayda fərdi hüceyrədən ibarət olan bir şəbəkədir. Hər hüceyrə fərqli "vəziyyətlərdə" ola bilər (məsələn, fərqli rənglər) və hər hüceyrənin vəziyyəti ətrafdakı hüceyrələr tərəfindən müəyyən edilir.

Bizim nümunəmizdə hər hüceyrə ya qara, ya da ağ ola bilər. Yalnız bir qara kvadrat olan bir sıra ilə başlayırıq. Sonrakı cərgələrdə hər hüceyrənin rəngi dərhal yuxarıdakı üç hüceyrə tərəfindən müəyyən edilir. Rənglərini dəyişdirmək üçün aşağıdakı səkkiz mümkün varianta vurun - Sierpinski üçbucağına bənzər bir nümunə yaradan qaydalar toplusunu tapa bilərsiniz?

Səkkiz variantın hər biri üçün iki seçim var, yəni var 28= Cəmi mümkün qaydalar. Bəziləri, kimi, Sierpinski üçbucağına bənzəyirlər. Digərləri, kimi, tamamilə xaotik görünürlər. 1983-cü ildə Stephen Wolfram tərəfindən kəşf edildi və kompüterlər hətta təsadüfi ədəd yaratmaq üçün onlardan istifadə edə bilərlər!

Hüceyrəvi avtomatika, çox sadə qaydalarla necə yüksək səviyyədə mürəkkəb nümunələrin yarandığını göstərir - eynilə fraktallar kimi. Təbiətdəki bir çox proses sadə qaydalara riayət etsə də, inanılmaz dərəcədə mürəkkəb sistemlər yaradır.

Bəzi hallarda bu, hüceyrə avtomatına bənzəyən naxışların, məsələn, bu salyangozun qabığındakı rənglərin meydana gəlməsinə səbəb ola bilər.

Konus toxuması, zəhərli dəniz ilbizi

Sierpinski Tetrahedra

Sierpinski üçbucağının bir çox variantı və oxşar xüsusiyyətləri və yaradılması prosesləri olan digər fraktallar var. Bəziləri yuxarıda gördüyünüz Sierpinski Xalçası kimi iki ölçülü görünür. Digərləri bu nümunələr kimi üç ölçülü görünür:

Sierpinski Tetrahedra

Sierpinski Piramidası

Archie