Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

FraktallarMandelbrot dəsti

Oxumaq vaxtı: ~30 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Əvvəlki fəsillərdə gördüyümüz bütün fraksiyalar iterasiya prosesi istifadə edərək yaradıldı: müəyyən bir naxışla başlayırsınız və sonra təkrar-təkrar təkrarlayırsınız.

Riyaziyyatda əvvəllər gördüyünüz başqa bir anlayışa bənzərdir: rekursiv ardıcıllıqla müəyyən bir nömrə ilə başlayırsınız və ardıcıllıqla növbəti nömrəni almaq üçün təkrar-təkrar eyni formul tətbiq edirsiniz.

Rekursiv düsturu götürək xn=xn12 nümunə kimi göstərin və şərtlərini bir sıra xəttinə çəkin. Dəyərini dəyişə bilərsiniz x0 :

Yaranan ardıcıllığın başlanğıc dəyərindən asılı olaraq necə fərqli davranacağına diqqət yetirin x0 :

Əgər x0>1 , ardıcıllıq : yalnız sonsuzadək böyüyür.

Əgər x0 -1 ilə 1 arasındadır, ardıcıllıq .

Əgər x0<1 , ardıcıllıq .

İndiyə qədər yeni bir şey öyrənmədik. Ancaq təqribən bir əsr əvvəl riyaziyyatçılar, yalnız həqiqi ədəd xəttini deyil, mürəkkəb rəqəmlərdən istifadə etsəniz, bu ardıcıllıqla nə baş verəcəyini araşdırmağa başladılar. Onların kəşfləri bütün riyaziyyatda ən təəccüblü və gözəl nəticələr idi.

Julia Dəstləri

Əvvəlki kimi eyni ardıcıllığı istifadə edək, xn=xn12 , lakin kompleks müstəvidə. Mövqeyini daşıya bilərsiniz x0 , aşağıdakı şərtlərlə nə baş verdiyini görmək. Ardıcıllıq birləşəcək kimi görünürsə, təyyarədəki müvafiq nöqtəni rəngləndirək mavi :

xn=xn12
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Converges!Diverges!

Gördüyünüz kimi, ardıcıllıq nə qədər uzunlaşır x0 yatır (radiusu 1 olan dairə, başlanğıcın mərkəzində).

İndi işləri bir az daha çətinləşdirək. Əvvəlki nömrəni kvadratlaşdırmaq əvəzinə, sabit də əlavə edirik c hər dəfə (hər hansı bir kompleks sayı ola bilər). Başqa sözlə, xn=xn12+c . Düşünürsən ki, hələ də bir dairə yığacağıq? Sizcə başqa hansı formaları görə bilərik?

Bu diaqramda mövqeyini dəyişə bilərsiniz x0 habelə dəyəri c :

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!
Nə olacağını artıq bilirik - yuxarıdakı nümunə ilə eynidir. Ardıcıllıqla yaxınlaşma x0 bölmə dairəsi daxilində yerləşir.
C dəyərini dəyişdikdən sonra gözəl bir şey baş verir. Dairə olduqca mürəkkəb, fraktal formaya çevrilir.
Nə vaxt , forma spiralda qurulmuş sonsuz sayda kiçik elementə bölünür.

Bəzi hallarda ardıcıllıq bir nöqtəyə keçmir - bunun əvəzinə üçbucaq kimi çox nöqtələrin dövrünə çatır. Bu dövrlərə orbit deyilir.

Rəngli mavi olan nöqtələr, uyğun ardıcıllığın ya çevrildiyini və ya bir orbitə sahib olduğunu bildirir (deyirik ki, bağlıdır ). Ağ rəngdə qalan nöqtələr müvafiq ardıcıllıqla ayrılır deməkdir: bağlanmır və nəticədə sonsuzluğa qədər əsir.

Başqa nə tapa bilərsiniz? Nə zaman nümunələrə baxın ya da nə vaxt . Hər bir ardıcıllığın ayrıldığı c-nin bəzi dəyərləri də var, buna görə də bütün kompleks müstəvi ağ rəngdə qalır.

Rəqəmlərin rənglənməsi ilə əmələ gələn müxtəlif formalara Julia dəstləri deyilir. Onlar müstəqil olaraq 1918-ci ildə iki fransız riyaziyyatçısı Gaston JuliaPierre Fatou tərəfindən kəşf edildi.

O dövrdə Julia dəstlərinin əslində necə göründüyünü görüntüləmək üçün heç bir kompüter yox idi. Julia və Fatou kimi riyaziyyatçılar, riyazi olaraq onlar haqqında düşünə bildilər, ancaq onlar yalnız görünə biləcəkləri kobud, əl ilə hazırlanmış eskizləri gördülər.

Bu gün bu problemimiz yoxdur - aşağıda göstərilən şəkillər hamısı müxtəlif Julia dəstləridir. Fərqli rənglər o nöqtədəki ardıcıllığın nə qədər tez ayrıldığını göstərir:

c=0.701760.3842i

c=0.4+0.6i

c=0.285+0.01i

Mandelbrot dəsti

Fərqli Julia dəstlərini yaratarkən, hər bir ardıcıllığın ayrıldığı və bütün kompleks müstəvinin ağ rəngdə qaldığı c dəyərlərinin olduğunu gördünüz. Julia və Fatou'dan bir neçə on il sonra, yeni bir riyaziyyatçı nəsil bu ərazilərin necə göründüyünü xəritələndirməyə çalışdı.

Əvvəlki nümunədə biz üçün sabit bir dəyər seçdik c , sonra mövqeyini dəyişdirdi x0 təyyarəni rəngləndirmək. İndi dəyərini təyin edək x0=0 , əvəzinə dəyərini dəyişdirin c .

Bir daha, ardıcıllıqla bağlı qaldığı ərazini aşkar etmək üçün mürəkkəb təyyarənin üzərinə rəngləyin. Hansı formaların görünəcəyini gözləyirsiniz?

xn=xn12+${complex(c)}
x0=${complex(x0)}
x1=${complex(x1)}
x2=${complex(x2)}
x3=${complex(x3)}
Bounded!Diverges!

Bu fraktal Mandelbrot dəsti adlanır və 90° dönəndə demək olar ki, başı, bədəni və iki qolu olan bir insana bənzəyir. İlk dəfə 1978-ci ildə riyaziyyatçılar Robert Brooks və Peter Matelski tərəfindən bir tədqiqat sənədində tərtib edilmiş və tərtib edilmişdir:

Bir neçə il sonra Benoit Mandelbrot , daha sonra onun adını daşıyan fraktalın daha detallı vizual görüntüsü yaratmaq üçün IBM-dəki güclü kompüterlərdən istifadə etdi. İlk çaplar gözlədiklərindən fərqli oldu - printerlərdə işləyən texniki işçilərin toz hissəciklərinin və ya printer səhvlərindən qaynaqlandığını düşündüklərini və fraktalların müəyyən bir xarakteristikası olmadığını düşünənə qədər. !

Bütün fraktallar kimi biz də hər ölçüdə yeni naxışlar tapan Mandelbrotu əbədi olaraq "böyütə" bilərik. Burada Seahorse vadisi adlanan Mandelbrot dəstinin bir hissəsini böyütə bilərsiniz. Qara nöqtələr ardıcıllığın bağlandığı Mandelbrot dəsti içərisindədir . Rəngli nöqtələr ardıcıllığın ayrıldığı Mandelbrot dəsti xaricindədir və fərqli rənglər onun sonsuzluğa necə sürətlə böyüdüyünü göstərir:

Scale: ${pow(scale)}

Bu sürgüçəkmə, 14 kvadrilyondan bir böyümə səviyyəsinə qədər 27 fərdi görünüşdən ibarətdir 254 . Ümumilikdə, müasir bir noutbukda çıxış etmək üçün demək olar ki, 45 dəqiqə çəkdilər. Mandelbrot dəsti yalnız bir, sadə tənliklə, xn=xn12+c , yenə də sonsuz mürəkkəb və heyrətamiz dərəcədə gözəldir.

Dəyişdirdiyiniz zaman c Mandelbrot dəsti ətrafında maraqlı bir əmlak görsənə bilər:

  • Mandelbrot set əsas bədən daxilində Bütün ardıcıllığı tək nöqtəyə. * {.reveal(data-when="blank-0")} Üstündəki böyük ampulün içərisindəki ardıcıllıqlar nöqtədən ibarət. * {.reveal(data-when="blank-2")} Bu kiçik ampuldəki ardıcıllıqlar uzunluqlu orbitə malikdir.

Hər bir ampul fərqli ölçülü bir orbitə sahibdir, kiçik ampüller öz orbitlərində daha çox nöqtəyə sahibdirlər. Bu orbitlərin ölçüsü Chaos nəzəriyyəsində vacib bir anlayış olan Logistik xəritə ilə sıx əlaqəlidir.

Bernoit Mandelbrot ömrünün çox hissəsini fraktalların, eləcə də kobudluğunözünə bənzərliyin riyaziyyatını öyrənməyə həsr etmişdir. İşinin fizika, meteorologiya, nevrologiya, iqtisadiyyat, geologiya, mühəndislik, kompüter elmləri və bir çox digər sahələrdə tətbiqləri var.

1985-ci ildə Mandelbrot dəsti Scientific American jurnalının üz qabığında çıxdı və o vaxtdan bəri dünyanın ən tanınan riyazi formalarından birinə çevrildi. Bunu köynəklərdə, musiqi videolarında və ekran qoruyucuları kimi tapa bilərsiniz və bir çox məşhur kitab və filmlərdə istinad edilmişdir.