Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

FraktallarGiriş

Oxumaq vaxtı: ~45 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Təbiətə baxarkən, bu kimi mürəkkəb bitkiləri görmüş ola bilərsiniz:

Bu Fern daha böyük bir yarpağı olan bir çox kiçik yarpaqdan ibarətdir.

Bu Romanesko brokoli daha kiçik ibarətdir daha böyük birinin ətrafına yayılan .

Başlanğıcda bunlar olduqca mürəkkəb formalar kimi görünür - lakin daha yaxından baxdığınız zaman onların ikisinin də nisbətən sadə bir nümunəyə uyduğunu görə bilərsiniz: bitkilərin bütün fərdi hissələri bütün bitki ilə eynidir, sadəcə daha kiçik. Eyni nümunə kiçik ölçülərdə təkrar-təkrar təkrarlanır.

Riyaziyyatda bu mülkiyyəti özünə bənzətmə və ona sahib olan formalar fraktallar adlandırırıq. Bunlar riyaziyyatın ən gözəl və ən qəribə obyektlərindən biridir.

Öz fraktallarımızı yaratmaq üçün sadə bir naxışdan başlamalı və sonra təkrar-təkrar, daha kiçik ölçülərdə təkrarlamalıyıq.

Ən sadə nümunələrdən biri a ola bilər xətti seqmenti , ilə bir ucundan dallanan daha iki seqment . Bu nümunəni təkrarlasaq, hər iki mavi seqmentin də uclarında daha iki filial olacaqdır.

Bütün filialların uzunluğunu və bucağını dəyişdirmək üçün mavi nöqtələri hərəkət etdirə bilərsiniz. Sonra aşağıdakı kaydırıcıyı istifadə edərək təkrarlama sayını artırın.

Budaqların mövqeyindən asılı olaraq tamamilə fərqli naxışlar yuxarıdakı , bir və ya . Başqa nə tapa bilərsiniz?

Digər məşhur fraktal Sierpinski üçbucağıdır . Bu vəziyyətdə böyük, bərabər tərəfli üçbucaqla başlayırıq və sonra qalan hissələrdən dəfələrlə kiçik üçbucaqları kəsirik.

Son şəklin özünün üç eyni nüsxədən necə qurulduğuna diqqət yetirin və bunların hər biri bütün üçbucağın daha da kiçik nüsxələrindən ibarətdir! Üçbucağa əbədi olaraq böyütməyə davam edə bilərsiniz və naxışlar və formalar həmişə təkrar etməyə davam edəcəkdir.

Yalnız fractals kimi bu fəsildə göz başında bitkilərin, amma real həyatda doğru fractals yaratmaq aydın mümkün deyil. Eyni nümunəni təkrar-təkrar, daha kiçik və daha kiçik bir şəkildə təkrarlamağa davam etsək, nəticədə bölünə bilməyən hüceyrələrə, molekullara və ya atomlara qovuşacağıq.

Ancaq riyaziyyatdan istifadə edərək həqiqi fraktalların "olacağı" xüsusiyyətləri barədə düşünə bilərik - və bunlar çox təəccüblüdür ...

Fraktal Ölçülər

Əvvəlcə fraktalların ölçüsü barədə düşünək. Bir xəttin ölçüsü var. 2 faktorla ölçüldükdə, uzunluğu bir amil artır 21=2 . Aydındır!

Bir kvadratın ölçüsü var. 2 faktorla ölçüldükdə, sahəsi bir amil artar 22= .

Bir kubun ölçüsü var. 2 faktorla ölçüldükdə, onun həcmi bir amil artar 23= . Görünüşdəki daha böyük kub, daha kiçik olan 8 nüsxədən ibarətdir!

İndi Sierpinski üçbucağına nəzər salaq. Əgər onu 2 faktora görə ölçsək, “sahə” nin amil artdığını görə bilərsiniz.

Deyək ki, d Sierpinski üçbucağının ölçüsüdür. Yuxarıdakı kimi eyni nümunədən istifadə edərək əldə edirik 2d=3 . Başqa sözlə, d = ≈ 1.585…

Ancaq gözləyin ... necə bir şey tam olmayan bir ölçüyə sahib ola bilər? Bu qeyri-mümkün görünür, amma bu fraktalların qəribə xüsusiyyətlərindən yalnız biridir. Əslində fraktallara adlarını verən budur: fraksiya ölçüsü var .

Hər iterasiya ilə Sierpinski üçbucağının bir hissəsini çıxarırıq. Bunu sonsuz dəfələrlə edə bilsəydik, əslində heç bir sahə qalmazdı: buna görə Sierpinski üçbucağı iki ölçülü bir sahə və bir ölçülü bir xətt arasındakı bir şeydir.

Bir çox fraktallar bir-birinə bənzər olsa da, daha yaxşı bir tərif fraktalların tam olmayan ölçülərə sahib olmasıdır .

Koch qar uçqunu

Təbiətdə fraktallara bənzəyən bir çox forma var. Bu fəslin əvvəlində bəzi bitkiləri gördük. Digər böyük nümunələr qar yağışı və buz kristallarıdır:

Öz fraktal qar uçqunu yaratmaq üçün bir daha təkrar-təkrar tətbiq edə biləcəyimiz sadə bir prosedur tapmalıyıq.

Sierpinski üçbucağı kimi, tək, bərabər tərəfli üçbucaqdan başlayaq. Bununla birlikdə, hər addımda kiçik üçbucaqları çıxarmaqdansa , kənar boyunca daha kiçik üçbucaqlar əlavə edirik. Hər üçbucağın yan uzunluğu əvvəlki addımdakı üçbucaqların.

Yaranan forma, İsveç riyaziyyatçısı Helge von Kochun adını daşıyan Koch qar uçqunu adlanır. Bir daha diqqət yetirin ki, qar uçqununun kənarındakı kiçik hissələr daha böyük hissələrlə eynidir.

Koch Snowflake'nin bir kənar seqmentini 3 faktoru ilə , uzunluğu .

Yuxarıdakı kimi ölçülər və miqyas amilləri arasındakı eyni əlaqədən istifadə edərək tənliyi əldə edirik . Bu, Koch Snowflake ölçüsünün olması deməkdir d=log341.262 .

Sahə

Koch qar uçqunlarının yaradılması demək olar ki, bir rekursiv ardıcıllığa bənzəyir: başlanğıc şəklini (üçbucaq) bilirik və bir müddətdən digərinə necə keçəcəyimizi bilirik (hər tərəfə daha çox üçbucaq əlavə etməklə):

yeni üçbucaq

yeni üçbucaq

yeni üçbucaq

Birinci iterasyondan sonra əlavə olunan yeni üçbucaqların sayı hər addımda amil artır. Eyni zamanda, bu yeni üçbucaqların sahəsi hər addımda amil azalır.

Deyək ki, ilk üçbucağın 1 sahəsi var. Sonra növbəti üçbucağın ümumi sahəsi 3×19=13 . Aşağıdakı addımlar hamısı , ümumi nisbətlə .

Sonsuz həndəsi silsilələrin cəminin düsturundan istifadə edərək Koch qar uçqununun ümumi sahəsinin olduğunu hesablaya bilərik

A=1+13×1=85=1.6 .

Perimetr

Koch qar uçqununun perimetrini hesablamağa da cəhd edə bilərik. Daha əvvəl də gördüyümüz kimi, perimetrin uzunluğu bir amil ilə dəyişir hər addımda.

Bu o deməkdir ki, bir daha həndəsi silsiləmiz var - ancaq bu vəziyyətdə bir araya Bu o deməkdir ki, Koch qar uçqununun perimetri həqiqətən sonsuzdur !

Bu əks nəticə verərsə, yalnız perimetri çoxaltdığımızı unutmayın 43 hər addımda və bunu sonsuz dəfələrlə edirik.

Sonlu bir sahəyə və eyni zamanda sonsuz bir dövrə sahib bir forma sahib ola biləcəyiniz demək olar ki, ağlınıza gəlmir - ancaq bu fraktalların gözlənilməz xüsusiyyətlərindən biridir.

Öz fraktallarınızı yaratmaq üçün başqa bir yol tapa bilərsinizmi?

"Ruhum ətrafındakı dondurulmuş fraktallar üzərində hərəkət edir ..."

Menger Süngər

Fraktallar yuxarıdakı nümunələrin çoxu kimi "düz" olmağa məcbur deyillər. Üç ölçülü baxmaq ən məşhur fractals biri ilk 1926-cı ildə təsvir riyaziyyatçı Karl Menger adına Menger süngər edir.

Möhkəm bir kub ilə başlayırıq və dəfələrlə kiçik və daha kiçik dəlikləri qazırıq. Deliklərin hər yeni iterasiyası var əvvəlki deşiklərin eni.

A 3×3×3 kub 27 kiçik kubdan ibarətdir, amma burada bunların bir qismini çıxartdıq. Menger süngəri 3 dəfə kiçik olan nüsxədən ibarətdir.

İndi yuxarıdakı Koch qar uçqunu üçün etdiyimiz kimi Menger süngərinin d ölçüsünü hesablamağa cəhd edə bilərik. Bu vəziyyətdə alırıq 3d=20 , və ya d=log3202.727 .

Daha çox və daha çox deşik kəsdiyinizi təsəvvür etsəniz, sonsuz dəfələrlə gerçək bir həcm qalmazdı. Buna görə kub üç ölçülü deyil "olduqca"!

Fraktal sahillər

İndiyə qədər gördüyümüz bütün fraktalların əsas xüsusiyyətlərindən biri budur ki, əbədi olaraq "böyüdə" və daima yeni naxışlar tapa bilərsiniz. 1920-ci ilə yaxın İngilis riyaziyyatçısı Lyuis Fry Richardson bir çox ölkələrin sərhədi və ya sahil zolağı üçün eyni şeyin olduğunu başa düşdü.

Ölkənin əsas formasından başlayırsınız və böyüdükcə çay axınları, körfəzlər və anbarlar, sonra fərdi qayalar, qayalar, çınqıllar və s. Əlavə edirsiniz:

Bir ölkənin sərhədinin uzunluğunu hesablamağa çalışarkən bu əhəmiyyətli bir problemdir - böyütməyə nə qədər qərar verdiyinizi və hansı çuxurları və kələkləri daxil etməyi düşünürsünüz?

İngiltərənin sahil xəttinin uzunluğunu ölçməyin bir yolu, məsələn, uzun bir hökmdar götürmək, çimərlikləri boyunca gəzmək və sonra bütün məsafələri əlavə etməkdir.

Hökmdar varsa ${rulers[index]} km uzunluğunda istifadə etməliyik ${count} dəfə, buna görə də ümumi sahil xəttini alırıq ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km.

Sadəcə, daha kiçik və daha kiçik hökmdarlarla davam edə bilərik və hər dəfə sahil xəttinin uzunluğuna dair nəticələrimiz bir az daha uzun olardı. Əvvəlki Koch Snowflake kimi, Britaniyanın sahil xəttinin sonsuz qədər uzun olduğu görünür! Buna tez-tez sahil xətti paradoksu deyilir.

Bir neçə on il sonra, riyaziyyatçı Benoit Mandelbrot , IBM-də işləyərkən Richardsonun atılmış kitabxana kitabındakı işi ilə qarşılaşdı. O, bunun əhəmiyyətini və fraktallar və ölçülər barədə daha son araşdırmalarla necə əlaqəli olduğunu tanıdı.

Britaniyanın sahil xətti əlbətdə fraktal “görünür”, amma əvvəllər gördüyümüz digər fraktallar kimi özünə bənzər deyildir. Ölçüsünü tapmaq üçün onu bir grid üzərində çəkib, kəsişdiyi hüceyrələrin sayını təyin edə bilərik.

Əvvəlcə var 88 kəsişən hüceyrə. Sahil xəttini 2 faktora görə ölçsək, var 197 kəsişən hüceyrə - iki qat daha çox!

Sahil xəttinin ölçüsü bir amil artdı 19788 . Əvvəllər olduğu kimi, bu da sahil xəttinin ölçüsü deməkdir

d=log2197881.16

Bunu daha böyük ızgaralarla təkrarlasaq, Britaniyanın sahil xəttinin ölçüsünün əslində təxminən 1.21 olduğunu görərdik. Mandelbrot başa düşdü ki, bu fraktal ölçü eyni zamanda bir formanın pürüzlülüyünün ölçüsüdür - yeni bir konsepsiya, bunun üçün riyaziyyat və elmin bir çox başqa sahələrində mühüm tətbiqlər tapdı.

Təbiət və Texnologiyada daha çox fraktallar

Əsl fraktallar təbiətdə heç vaxt görünə bilməsə də, demək olar ki , fraktallara bənzəyən bir çox cisim var. Artıq bitkiləri, qar yağışlarını və sahil zolaqlarını gördük və burada daha bir neçə nümunə var:

Orta Asiyada dağ silsiləsi

Hindistandakı Ganges çay deltası

Şimşək boltları

Retinada qan damarları

ABŞ-da Grand Canyon

Buludlar

Bütün bu cisimlər tamamilə təsadüfi görünə bilər, ancaq fraktallar kimi, onların necə meydana gəldiyini müəyyənləşdirən əsas bir nümunə var. Riyaziyyat bizə formaları daha yaxşı başa düşməyə kömək edə bilər və fraktalların tibb, biologiya, geologiya və meteorologiya kimi sahələrdə tətbiqləri var.

Kompüter tərəfindən yaradılan fraktal ərazi

Həqiqətən təbiətin "nüsxələrini" yaratmaq üçün fraktallardan istifadə edə bilərik, məsələn, video oyunlarda və ya kompüter istehsalı olan filmlərdə istifadə olunan mənzərə və dokular kimi. Bu görüntüdəki su, dağlar və buludlar tamamilə kompüter tərəfindən, fraktalların köməyi ilə hazırlanmışdır!

Rəqəmsal şəkilləri sıxışdırmaq, fayl ölçüsünü azaltmaq üçün bu prosesi də geri çevirə bilərik. İlk alqoritmlər 1980-ci illərdə Michael Barnsley və Alan Sloan tərəfindən hazırlanmışdır və bu gün də yeniləri araşdırılır.

Archie