Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Dairələr və PiTangents, Akkordlar və Arcs

Oxumaq vaxtı: ~25 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Əvvəlki hissələrdə bir dairənin bir neçə fərqli hissəsinə - mərkəz, radius, diametr və dövrə kimi adları öyrəndiniz. Ancaq bir dairə ilə əlaqəli bir çox həndəsi element var ki, daha mürəkkəb problemləri həll etməliyik:

  • A secant iki nöqtədə bir dairəni kəsən bir xəttdir.
  • A akkord son nöqtələri bir dairənin ətrafına uzanan bir xətt seqmentidir.
  • A tangent tam bir nöqtədə bir dairəyə toxunan bir xəttdir. Buna toxluq nöqtəsi deyilir .
  • Bir qövs bir dairənin çevrəsinin bir hissəsidir.
  • A sektor bir qövsiki radii ilə bağlanmış bir dairənin daxili hissəsidir.
  • Nəhayət, a seqment bir qövsbir akkordla bağlanmış bir dairənin daxili hissəsidir.

Bu hissədə bütün bu elementlər arasındakı əlaqəyə baxacağıq və xüsusiyyətləri haqqında teoremləri sübut edəcəyik. Artıq bütün tərifləri yadda saxlamağınızdan narahat olmayın - həmişə lüğətdən istifadə edə bilərsiniz.

Tangents

TEZLİKLƏ!

Akkordlar

TEZLİKLƏ!

Arklar və Sektorlar

Qədim Yunanıstanda elm adamlarının çoxu Yerin bir kürə olduğuna razılaşdılar. Dəlil çox idi: dənizdə üfüqdə itən gəmilərdən tutmuş gecə boyunca ulduzların dairəvi hərəkətinə qədər.

Təəssüf ki, heç kim Yerin nə qədər böyük olduğunu dəqiq bilmirdi - e.ə. 200 ilə qədər, riyaziyyatçı Eratosthenes əsas həndəsə üsulundan istifadə edərək Yer radiusunu ölçmək üçün usta bir yol tapdı. Bizə lazım olan yalnız bir qövs və bir dairənin sektorları haqqında bir az daha çox bilikdir.

Diaqramda gördüyünüz kimi, bir arc bir hissəsidir bir dairənin və a sektor bir hissəsidir bir dairənin .

AB nöqtələri arasındakı qövs tez-tez olduğu kimi yazılır AB . Bu tərif bir qədər qeyri-müəyyəndir: a var AB- ni birləşdirən , lakin dairə boyunca başqa bir şəkildə gedən ikinci qövs .

İki qövsün ən kiçikinə kiçik qövs , daha böyüyünə isə əsas qövs deyilir. AB nöqtələri tam bir-birinə tam ziddirsə, hər iki qövs eyni uzunluğa malikdir və .

Bir qövsün uzunluğunu və ya bir sektorun sahəsini tapmaq üçün dairənin mərkəzindəki müvafiq bucaq haqqında bilməliyik: mərkəzi bucaq .

Qövsün, sektorun və bucağın hamısının tam bir dairə nisbətini necə aldığına diqqət yetirin. Məsələn, əgər mərkəzi bucaqdır , alır a-nın tam dairə .

Bu o deməkdir ki qövsün uzunluğu da 14 nin dairənin bütün ətrafı sektorun sahəsi 14 nin dairənin bütün sahəsi .

Bu əlaqəni bir tənlikdə ifadə edə bilərik:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

İndi bu tənlikləri yenidən maraqlandıran dəyişənləri tapmaq üçün yenidən düzəldə bilərik. Məsələn,

qövs uzunluğu=circumference×c360
=2πr×c360
sektor sahəsi=circle area×c360
=πr2×c360

burada r - dairənin radiusu, c - mərkəzi bucağın ölçüsü.

Mərkəzi bucaq dərəcə ilə deyil, radianla ölçülürsə, eyni tənliklərdən istifadə edə bilərik, ancaq 360° ilə əvəz etməliyik :

qövs uzunluğu=2πr×c2π
=r×c
sektor sahəsi=πr2×c2π
=12r2c

Notice tənliklər çox sadə olmaq, və π hər yerdə həyata ləğv necə. Bunun səbəbi, xatırlatdığınız kimi , radianların tərifi əsasən radius 1 ilə bir dairədə olan bir qövsün uzunluğundan ibarətdir.

İndi gəlin, Yerin dairəsini hesablamaq üçün qövslərdən və sektorlardan necə istifadə edə biləcəyimizə baxaq.

Qədim Misirdə Svenet şəhəri Nil çayı boyunca yerləşirdi. Swenet, maraqlı bir mülkü olan bir quyu ilə məşhur idi: hər il günəş işığı quyunun dibinə çatanda bir an var idi - 21 iyun, günorta yaz yayının günü. Bu dəqiq vaxtda quyunun dibi işıqlandı, ancaq yanları yox idi, yəni Günəş birbaşa quyunun üstündə dayandı.

Qədim misirlilər gəzmək üçün atdığı addımların sayını hesablayaraq uzun məsafələri ölçdülər.

Bəzi mənbələr "Eratosthenes quyusu" Nil çayındakı Elephantine adasında olduğunu söylədi.

Riyaziyyatçı Eratosthenes , Böyük Kitabxananın direktoru olduğu Swenetdən təxminən 800 km şimalda olan İsgəndəriyyədə yaşayırdı. İsgəndəriyyənin şəhər mərkəzində bir piramida şəkilli üstü olan hündür, dar bir abidə dayanmışdı.

Eratosthenes, yaz ayının günorta saatlarında obelisk bir kölgə atdığını gördü - yəni günəş birbaşa onun üstündə deyildi . Bunun Yer kürəsinin əyriliyinə görə olduğunu söylədi və bunun planetimizin çevrəsini hesablamaq üçün istifadə edilə biləcəyini başa düşdü.

Burada Swenetdəki quyunu, eləcə də İsgəndəriyyədəki obeliskini görə bilərsiniz. Günəş şüaları birbaşa quyuya düşür, ancaq obeliskini bir açı ilə vurub kölgə salın.

Eratosthenes ölçüldü kölgənin açısı 7,2° idi. Bu, eynidir mərkəzi açı İsgəndəriyyədən Swenetə qədər olan qövs , çünki onlar açılar.

İndi yuxarıda əldə etdiyimiz qövs uzunluğu üçün tənliyi istifadə edə bilərik:

arc lengthcircumference=°360°

Bunu yenidən təşkil etsək, Yerin dairəsini tapırıq

circumference=360°7.2°×800 km=km

Nəhayət, bir dairənin çevrəsinin olduğunu bilirik C=2πr , beləliklə Yer radiusu

rEarth=40000km2π6400km .

Eratosthenesin ölçülməsi antik dövrdə ən vacib təcrübələrdən biri idi. Onun Yer ölçüsünü qiymətləndirməsi təəccüblü dərəcədə dəqiq idi, xüsusən yalnız çox əsas ölçmə vasitələrinə girdiyini nəzərə alaraq.

Əlbətdə, orijinal nəticələrini kilometr kimi müasir vahidlərə tərcümə etmək çətin ola bilər. Qədim Yunanıstanda məsafə stadiyada (təxminən 160 m) ölçülürdü, lakin ümumdünya standartı yox idi. Hər bölgədə bir az fərqli bir versiya vardı və hansı Eratosthenin istifadə olunduğunu bilmirik.

Sonrakı əsrlərdə elm adamları Yer radiusunu hesablamaq üçün başqa üsullardan istifadə etməyə çalışdılar - bəzən çox fərqli və səhv nəticələr göstərdilər.

Kristofer Kolumbun Portuqaliyadan qərbə üzməsinə səbəb olan bu səhv ölçmələrdən biri idi. Yerin əslində olduğundan daha kiçik olduğunu zənn etdi və Hindistana çatacağına ümid etdi. Əslində, o, fərqli bir qitəyə gəldi: Amerika.

Seqmentlər

TEZLİKLƏ!