Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Dairələr və PiSahələr, konuslar və silindrlər

Oxumaq vaxtı: ~50 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

Əvvəlki hissələrdə düz bir səthdə dairələrin xüsusiyyətlərini araşdırdıq. Ancaq dünyamız əslində üç ölçülüdür, buna görə dairələrə əsaslanan bəzi 3D bərk şeylərə nəzər salaq:

Bir silindr əyri bir səthlə birləşdirilmiş iki konqresiv, paralel dairələrdən ibarətdir.

Bir konusun bir nöqtəyə qoşulduğu dairəvi bir baz var (vertex deyilir).

Bir sferanın səthindəki hər nöqtə mərkəzindən eyni məsafədədir.

Bir sahənin tərifinin bir tərifi ilə demək olar ki, eyni olduğuna diqqət yetirin - üç ölçüdən başqa!

Silindrlər

Burada Almaniyanın Oberhausen şəhərindəki silindrik qazometrini görə bilərsiniz. Yaxınlıqdakı fabriklərdə və elektrik stansiyalarında yanacaq kimi istifadə olunan təbii qazı saxlayırdı. Qazometr 120 m hündürlükdədir, təməli və tavanı radiusu 35 m olan iki böyük dairədir. Mühəndislərin cavab vermək istədikləri iki vacib sual var:

  • Nə qədər təbii qaz saxlanıla bilər? Bu silindrin .
  • Qazometr qurmaq üçün nə qədər polad lazımdır? Bu (təxminən) silindrin .

Hər iki nəticənin düsturlarını tapmağa çalışaq!

Qazometr Oberhausen

Silindr həcmi

Bir silindrin yuxarı və alt hissəsi əsas deyilən iki konqres dairəsidir. The bir silindr hündürlüyü h bu əsasları arasında şaquli məsafə və bir silindr radius r sadəcə dairəvi əsasların radiusudur.

Bir istifadə edərək bir silindrini təqib edə bilərik ${n} tərəfli prizma . Tərəflərin sayı artdıqca, prizma daha çox silindr kimi görünməyə başlayır:

Bir silindr texniki cəhətdən prizma olmasa da, bir çox xüsusiyyətlərini bölüşürlər. Hər iki halda da, həcmini onların sahəsini çoxaltmaqla tapa bilərik ilə birlikdə baza boyu . Bu, radiusu olan bir silindr deməkdir r və boy h həcmi var

V=

Unutmayın ki, radius və hündürlük eyni hissələrdən istifadə etməlidir. Məsələn, rh hər ikisi sm-dirsə, onda həcm içəridədir .

Yuxarıdakı nümunələrdə silindrin iki əsası həmişə birbaşa bir-birinin üstündə idi: buna sağ silindr deyilir. Baza bir-birindən birbaşa yuxarıda deyilsə, bizdə bir oblique silindr var . Döşəmələr hələ də paraleldir, lakin tərəflər 90° -dən çox olmayan bir açıya "söykənir".

İtaliyadakı Pizanın əyilmiş qülləsi, olduqca əyri bir silindr deyil.

Bir oblique silindrinin həcmi eyni radius və hündürlüyə malik bir sağ silindrlə eyni olur. Bu, İtaliyalı riyaziyyatçı Bonaventura Cavalierinin adını daşıyan Cavalieri prinsipi ilə əlaqədardır: hər hündürlükdə iki bərk sahənin eyni kəsişmə sahəsi varsa, onda eyni həcmə sahib olacaqlar.

Bir silindrin çox nazik disklərə dilimləndiyini düşünün. Bundan sonra bu diskləri üfüqi bir silindr əldə etmək üçün üfüqi sürüşdürə bilərik. Fərdi disklərin həcmi onu oblique halında dəyişmir, buna görə ümumi həcm də sabit qalır:

Bir silindrin səthi sahəsi

Bir silindr səthinin sahəsi tapmaq üçün, biz onun düz xalis onu "açmaq" var. Bunu özünüz cəhd edə bilərsiniz, məsələn, bir qutu qabdakı etiketi silməklə.

İki , biri başında, biri silindrin altındadır. Əyri tərəf əslində böyük bir .

  • Hər iki dairənin sahəsi var .
  • Düzbucağın hündürlüyü və düzbucağın eni ilə eynidir dairələrin : .

Bu o deməkdir ki, radiusu r və hündürlüyü h olan bir silindrin ümumi səth sahəsi verilir

A= .

Silindrlər dünyanın hər yerində - soda qutularından tualet kağızı və ya su borularına qədər tapıla bilər. Başqa nümunələri düşünə bilərsinizmi?

Yuxarıdakı Qazometr radiusu 35 m və hündürlüyü 120 m idi. İndi onun həcminin təxminən olduğunu hesablaya bilərik m3 və onun səth sahəsi təxminən dir m2 .

Konuslar

Bir konus , dairəvi olan üç ölçülü bir bərkdir baza . Diaqramda göstərildiyi kimi yan tərəfi "yuxarıya doğru" və bir nöqtədə deyilir dik .

The konus radius dairəvi bazasının radius və konusun hündürlüyü bazadan dikliyə perpendikulyar məsafədir.

Əvvəllər tanış olduğumuz digər formalar kimi, konuslar ətrafımızda hər yerdədir: dondurma konusları, yol konusları, müəyyən damlar və hətta Milad ağacları. Başqa nə düşünə bilərsən?

Bir konusun həcmi

Daha əvvəl bir prizdən istifadə edərək bir silindrin həcmini tapdıq. Eynilə, bir piramida istifadə edərək bir konusun həcmini tapa bilərik.

Burada a görə bilərsiniz ${n} tərəfli piramida. Tərəflərin sayı artdıqca, piramida daha çox konus kimi görünməyə başlayır. Əslində, bir konusun sonsuz tərəfləri olan bir piramida olaraq düşünə bilərdik!

Bu həm də o deməkdir ki, həcm üçün tənliyindən də istifadə edə bilərik: V=13base×height . Bir konusun əsası bir dairədir, buna görə radiusu r və hündürlüyü h olan bir konusun həcmi

V=

Bir silindr həcmi üçün tənlik ilə oxşarlığa diqqət yetirin. Konusun ətrafında eyni baza və hündürlüklə bir silindr çəkməyi düşünün - buna dairəvi silindr deyilir. İndi konus tam alacaq Silindr həcminin

Qeyd: Bir yaxınlaşma kimi sonsuz bir çox kiçik tərəfin bir az "qüsursuz" olduğunu düşünə bilərsiniz. Riyaziyyatçılar uzun müddət bir konusun həcmini hesablamaq üçün daha sadə bir yol tapmağa çalışdılar. 1900-cü ildə böyük riyaziyyatçı David Hilbert hətta riyaziyyatda 23 ən vacib həll edilməmiş problemlərdən biri olaraq adlandırdı! Bu gün bilirik ki, bu, əslində mümkün deyil.

Bir silindr kimi, bir konus "düz" olmalıdır. Əgər vertex birbaşa bazanın mərkəzindən yuxarıdırsa, bizim sağ konusumuz var . Əks təqdirdə, biz onu oblique konus adlandırırıq .

Bir daha Cavalieri prinsipindən istifadə edərək bütün oblique konusların eyni baza və hündürlüyə sahib olduqları halda eyni həcmdə olduğunu göstərə bilərik.

Bir konusun səthi sahəsi

Bir konusun səth sahəsini tapmaq bir az daha çətindir. Əvvəllər olduğu kimi, bir konusu da toruna sala bilərik. Nə baş verdiyini görmək üçün kaydırıcıyı hərəkət etdirin: bu vəziyyətdə bir dairə və bir alırıq .

İndi yalnız bu iki komponentin sahəsini əlavə etməliyik. The baza radius r olan bir dairədir, buna görə də sahəsi

ABase= .

Radiusu sektor bir konusun halqasından onun ucuna qədər olan məsafədir. Buna deyilir maili boyu normal eyni konus var, hündürlük h . Biz Pifaqor istifadə maili boyu tapa bilərsiniz:

s2=
s=

The sektorun qövs uzunluğu ilə eynidir baza : 2πr . İndi əvvəlki hissədə əldə etdiyimiz düsturdan istifadə edərək sektorun sahəsini tapa bilərik:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Nəhayət, yalnız sahəni əlavə etməliyik baza və sahəsi sektor , konusun cəmi səthini almaq üçün:

A=

Sahələr

Bir sahə , veriləndən eyni məsafədə olan bütün nöqtələrdən ibarət olan üç ölçülü bir bərkdir mərkəzi C. Bu məsafəyə deyilir kürənin radiusu r .

Bir sahəni "üç ölçülü bir dairə " kimi düşünə bilərsiniz. Bir dairə kimi, bir sahənin də a diametri d , bu radiusun uzunluğunun , həmçinin akkordlar və sekanlar.

Əvvəlki hissədə Yunan riyaziyyatçısı Eratosthenesin bir dirəyin kölgəsindən istifadə edərək Yer radiusunu necə hesabladığını öyrəndiniz - bu 6,371 km. İndi Yerin ümumi həcmini və səthini tapmağa çalışaq.

Bir sahənin həcmi

Bir sferanın həcmini tapmaq üçün bir daha Cavalieri prinsipindən istifadə etməliyik. Bir yarımkürədən başlayaq - ekvator boyunca kəsilmiş bir sahə. Həm də yarımkürədə olduğu kimi eyni radius və hündürlüyə malik, lakin ortada "kəsilmiş" bir konus olan bir silindirə ehtiyacımız var.

Aşağıdakı kaydırıcıyı hərəkət etdirərkən, hər iki şəklin kəsişməsini təməlin üstündəki müəyyən bir yüksəklikdə görə bilərsiniz:

Gəlin bu iki bərk cismin bir-birindən məsafədə olan kəsişmə sahəsini tapmağa çalışaq hündürlük h təməldən yuxarı.

Yarımkürənin kəsişməsi həmişə bir .

The kəsişmənin radius x hissəsi a hissəsidir sağ bucaqlı üçbucaq , buna görə Pifaqoradan istifadə edə bilərik:

r2=h2+x2 .

İndi kəsişmənin sahəsi

A=

Kəsilmiş silindrinin kəsişməsi həmişə bir .

Çuxurun radiusu h- dir. Çuxurun sahəsini daha böyük dairənin sahəsindən çıxarmaqla tapa bilərik:

A=πr2πh2
=πr2h2

Hər iki bərkin hər səviyyədə eyni kəsişmə sahəsinə sahib olduğu görünür. Cavalieri prinsipi ilə hər iki qatı eyni ! Biz silindr həcmi və konus həcmi çıxarılaraq yarımkürəsində həcmi tapa bilərsiniz:

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Bir sahə yarımkürədən ibarətdir, deməkdir ki, həcmi olmalıdır

V=43πr3 .

Yer (təqribən) radiusu 6,371  km olan bir sferadır. Buna görə onun həcmi

V=
= 1 km3

Yerin orta sıxlığı 5510kg/m3 . Bu, onun ümumi kütləsi deməkdir

Mass=Volume×Density6×1024kg

Bu 24 sıfır izlədi 6!

Bir silindr, konus və sferanın həcminə görə olan tənlikləri müqayisə etsəniz, həndəsədə ən məmnun əlaqələrdən birini görə bilərsiniz. Təsəvvür edin ki, bünövrəsinin diametri ilə eyni hündürlüyə malik bir silindr var. İndi həm konusa həm də içərisinə mükəmməl bir sfera uyğunlaşa bilərik:

+

Bu konusun radiusu var r və boyu 2r. Onun həcmi

=

Bu sferanın radiusu var r . Onun həcmi

Bu silindr radiusa malikdir r və boyu 2r . Onun həcmi

Diqqət yetirin, əgər etsək konus həcmi və sahəsi, biz silindr dəqiq həcmi almaq!

Bir sferanın səthi sahəsi

Bir sferanın səthi sahəsi üçün bir düstur tapmaq çox çətindir. Bir səbəb, əvvəllər konuslar və silindrlər hazırladığımız kimi bir sferanın səthini aça və "düzləşdirə" bilməyəcəyimizdir.

Xəritə yaratmağa çalışarkən bu müəyyən bir məsələdir. Yer əyri, üç ölçülü bir səthə malikdir, lakin hər bir çap olunmuş xəritə düz və iki ölçülü olmalıdır. Bu o deməkdir ki, Coğrafiyaçılar aldatmaq məcburiyyətindədir: müəyyən əraziləri uzatmaq və ya büzməklə.

Burada proqnozlar adlanan bir neçə fərqli xəritəni görə bilərsiniz. Qırmızı kvadratı hərəkət etdirməyə çalışın və bu ərazinin həqiqətən dünyanın necə göründüyünə baxın:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Bir sferanın səthini tapmaq üçün başqa bir forma istifadə edərək bir daha təqribi şəkildə qiymətləndirə bilərik - məsələn, çox üzlü bir polyhedron. Üzlərin sayı artdıqca polyhedron daha çox kürə kimi görünməyə başlayır.

Tezliklə: Sahə Səthi Sahəsi Sübut