Dairələr və PiSahələr, konuslar və silindrlər
Əvvəlki hissələrdə düz bir səthdə dairələrin xüsusiyyətlərini araşdırdıq. Ancaq dünyamız əslində üç ölçülüdür, buna görə dairələrə əsaslanan bəzi 3D bərk şeylərə nəzər salaq:
Bir
Bir
Bir
Bir sahənin tərifinin bir
Silindrlər
Burada Almaniyanın Oberhausen şəhərindəki silindrik qazometrini görə bilərsiniz. Yaxınlıqdakı fabriklərdə və elektrik stansiyalarında yanacaq kimi istifadə olunan təbii qazı saxlayırdı. Qazometr 120 m hündürlükdədir, təməli və tavanı radiusu 35 m olan iki böyük dairədir. Mühəndislərin cavab vermək istədikləri iki vacib sual var:
- Nə qədər təbii qaz saxlanıla bilər? Bu
silindrin . - Qazometr qurmaq üçün nə qədər polad lazımdır? Bu (təxminən)
silindrin .
Hər iki nəticənin düsturlarını tapmağa çalışaq!
Qazometr Oberhausen
Silindr həcmi
Bir silindrin yuxarı və alt hissəsi əsas deyilən iki konqres dairəsidir. The bir silindr hündürlüyü h bu əsasları arasında şaquli məsafə və bir silindr radius r sadəcə dairəvi əsasların radiusudur.
Bir istifadə edərək bir silindrini təqib edə bilərik
Bir silindr texniki cəhətdən prizma olmasa da, bir çox xüsusiyyətlərini bölüşürlər. Hər iki halda da, həcmini onların sahəsini çoxaltmaqla tapa bilərik ilə birlikdə baza boyu . Bu, radiusu olan bir silindr deməkdir r və boy h həcmi var
Unutmayın ki, radius və hündürlük eyni hissələrdən istifadə etməlidir. Məsələn, r və h hər ikisi sm-dirsə, onda həcm içəridədir
Yuxarıdakı nümunələrdə silindrin iki əsası həmişə birbaşa bir-birinin üstündə idi: buna sağ silindr deyilir. Baza bir-birindən birbaşa yuxarıda deyilsə, bizdə bir oblique silindr var . Döşəmələr hələ də paraleldir, lakin tərəflər 90° -dən çox olmayan bir açıya "söykənir".
İtaliyadakı Pizanın əyilmiş qülləsi, olduqca əyri bir silindr deyil.
Bir oblique silindrinin həcmi eyni radius və hündürlüyə malik bir sağ silindrlə eyni olur. Bu, İtaliyalı riyaziyyatçı
Bir silindrin çox nazik disklərə dilimləndiyini düşünün. Bundan sonra bu diskləri üfüqi bir silindr əldə etmək üçün üfüqi sürüşdürə bilərik. Fərdi disklərin həcmi onu oblique halında dəyişmir, buna görə ümumi həcm də sabit qalır:
Bir silindrin səthi sahəsi
Bir silindr səthinin sahəsi tapmaq üçün, biz onun düz
İki
- Hər iki dairənin sahəsi var
. - Düzbucağın hündürlüyü
və düzbucağın eni ilə eynidir dairələrin : .
Bu o deməkdir ki, radiusu r və hündürlüyü h olan bir silindrin ümumi səth sahəsi verilir
Silindrlər dünyanın hər yerində - soda qutularından tualet kağızı və ya su borularına qədər tapıla bilər. Başqa nümunələri düşünə bilərsinizmi?
Yuxarıdakı Qazometr radiusu 35 m və hündürlüyü 120 m idi. İndi onun həcminin təxminən
Konuslar
Bir
The konus radius dairəvi bazasının radius və konusun hündürlüyü bazadan dikliyə perpendikulyar məsafədir.
Əvvəllər tanış olduğumuz digər formalar kimi, konuslar ətrafımızda hər yerdədir: dondurma konusları, yol konusları, müəyyən damlar və hətta Milad ağacları. Başqa nə düşünə bilərsən?
Bir konusun həcmi
Daha əvvəl bir prizdən istifadə edərək bir silindrin həcmini tapdıq. Eynilə, bir
Burada a görə bilərsiniz
Bu həm də o deməkdir ki, həcm üçün tənliyindən də istifadə edə bilərik:
Bir silindr həcmi üçün tənlik ilə oxşarlığa diqqət yetirin. Konusun ətrafında eyni baza və hündürlüklə bir silindr çəkməyi düşünün - buna dairəvi silindr deyilir. İndi konus tam
Qeyd: Bir yaxınlaşma kimi sonsuz bir çox kiçik tərəfin bir az "qüsursuz" olduğunu düşünə bilərsiniz. Riyaziyyatçılar uzun müddət bir konusun həcmini hesablamaq üçün daha sadə bir yol tapmağa çalışdılar. 1900-cü ildə böyük riyaziyyatçı
Bir silindr kimi, bir konus "düz" olmalıdır. Əgər vertex birbaşa bazanın mərkəzindən yuxarıdırsa, bizim sağ konusumuz var . Əks təqdirdə, biz onu oblique konus adlandırırıq .
Bir daha Cavalieri prinsipindən istifadə edərək bütün oblique konusların eyni baza və hündürlüyə sahib olduqları halda eyni həcmdə olduğunu göstərə bilərik.
Bir konusun səthi sahəsi
Bir konusun səth sahəsini tapmaq bir az daha çətindir. Əvvəllər olduğu kimi, bir konusu da toruna sala bilərik. Nə baş verdiyini görmək üçün kaydırıcıyı hərəkət etdirin: bu vəziyyətdə bir dairə və bir
İndi yalnız bu iki komponentin sahəsini əlavə etməliyik. The baza radius r olan bir dairədir, buna görə də sahəsi
Radiusu sektor bir konusun halqasından onun ucuna qədər olan məsafədir. Buna deyilir maili boyu normal eyni konus var, və hündürlük h . Biz
The sektorun qövs uzunluğu
Nəhayət, yalnız sahəni əlavə etməliyik baza və sahəsi sektor , konusun cəmi səthini almaq üçün:
Sahələr
Bir
Bir sahəni "üç ölçülü bir
Əvvəlki hissədə Yunan riyaziyyatçısı
Bir sahənin həcmi
Bir sferanın həcmini tapmaq üçün bir daha Cavalieri prinsipindən istifadə etməliyik. Bir yarımkürədən başlayaq - ekvator boyunca kəsilmiş bir sahə. Həm də yarımkürədə olduğu kimi eyni radius və hündürlüyə malik, lakin ortada "kəsilmiş" bir konus olan bir silindirə ehtiyacımız var.
Aşağıdakı kaydırıcıyı hərəkət etdirərkən, hər iki şəklin kəsişməsini təməlin üstündəki müəyyən bir yüksəklikdə görə bilərsiniz:
Gəlin bu iki bərk cismin bir-birindən məsafədə olan kəsişmə sahəsini tapmağa çalışaq hündürlük h təməldən yuxarı.
Yarımkürənin kəsişməsi həmişə bir
The kəsişmənin radius x hissəsi a hissəsidir sağ bucaqlı üçbucaq , buna görə
İndi kəsişmənin sahəsi
A | = |
Kəsilmiş silindrinin kəsişməsi həmişə bir
Çuxurun radiusu h- dir. Çuxurun sahəsini daha böyük dairənin sahəsindən çıxarmaqla tapa bilərik:
A | = | |
= |
Hər iki bərkin hər səviyyədə eyni kəsişmə sahəsinə sahib olduğu görünür. Cavalieri prinsipi ilə hər iki qatı eyni
= | ||
= |
Bir sahə
Yer (təqribən) radiusu 6,371 km olan bir sferadır. Buna görə onun həcmi
1 |
Yerin orta sıxlığı
Bu 24 sıfır izlədi 6!
Bir silindr, konus və sferanın həcminə görə olan tənlikləri müqayisə etsəniz, həndəsədə ən məmnun əlaqələrdən birini görə bilərsiniz. Təsəvvür edin ki, bünövrəsinin diametri ilə eyni hündürlüyə malik bir silindr var. İndi həm konusa həm də içərisinə mükəmməl bir sfera uyğunlaşa bilərik:
Bu konusun radiusu var
Bu sferanın radiusu var
Bu silindr radiusa malikdir
Diqqət yetirin, əgər
Bir sferanın səthi sahəsi
Bir sferanın səthi sahəsi üçün bir düstur tapmaq çox çətindir. Bir səbəb, əvvəllər konuslar və silindrlər hazırladığımız kimi bir sferanın səthini aça və "düzləşdirə" bilməyəcəyimizdir.
Xəritə yaratmağa çalışarkən bu müəyyən bir məsələdir. Yer əyri, üç ölçülü bir səthə malikdir, lakin hər bir çap olunmuş xəritə düz və iki ölçülü olmalıdır. Bu o deməkdir ki, Coğrafiyaçılar aldatmaq məcburiyyətindədir: müəyyən əraziləri uzatmaq və ya büzməklə.
Burada proqnozlar adlanan bir neçə fərqli xəritəni görə bilərsiniz. Qırmızı kvadratı hərəkət etdirməyə çalışın və bu ərazinin həqiqətən dünyanın necə göründüyünə baxın:
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
Bir sferanın səthini tapmaq üçün başqa bir forma istifadə edərək bir daha təqribi şəkildə qiymətləndirə bilərik - məsələn, çox üzlü bir polyhedron. Üzlərin sayı artdıqca polyhedron daha çox kürə kimi görünməyə başlayır.
Tezliklə: Sahə Səthi Sahəsi Sübut