Lüğət

Soldakı açar sözlərdən birini seçin ...

Dairələr və PiGiriş

Oxumaq vaxtı: ~35 min
Bu səhifə avtomatik tərcümə edildi və səhvlər ola bilər. Zəhmət olmasa tərcümələri nəzərdən keçirməyə kömək etmək istəyirsinizsə əlaqə qurun!

İnsanlar mövcud olduğu müddətə qədər göyə baxdıq və ulduzların, planetlərin və ayın hərəkətindən istifadə edərək Yerdəki həyatı izah etməyə çalışdıq.

Qədim Yunan astronomları ilk dəfə bütün göy cisimlərinin orbit adlanan müntəzəm yollarla hərəkət etdiyini kəşf etdilər. Bu orbitlərin həmişə dairəvi olduğuna inanırdılar. Axı, dairələr bütün formaların "ən mükəmməlidir": hər istiqamətdə simmetrikdir və beləliklə kainatımızın əsas nizamı üçün uyğun bir seçimdir.

Yer Ptolemaik kainatın mərkəzindədir.

Bir dairənin hər nöqtəsi mərkəzindən eyni məsafədədir. Bu, bir kompas istifadə edərək çəkilə biləcəkləri deməkdir:

Bilməlisiniz dairələr ilə əlaqəli üç vacib ölçü var:

  • The radius bir dairənin mərkəzindən xarici halqasına olan məsafədir.
  • The diametri bir dairədə iki əks nöqtə arasındakı məsafədir. Onun mərkəzindən keçir və uzunluğu radiusla .
  • The dairə (və ya perimetr) bir dairənin ətrafındakı məsafədir.

Dairələrin bir vacib xüsusiyyəti, bütün dairələrin oxşar olmasıdır . Bütün çevrələrin sadəcə tərcümələrdilations istifadə edərək necə uyğunlaşacağını göstərməklə sübut edə bilərsiniz:

Bənzər çoxbucaqlılar üçün uyğun tərəflər arasındakı nisbət həmişə sabit olduğunu xatırlaya bilərsiniz. Bənzər bir şey dairələr üçün işləyir: dairədiametr arasındakı nisbət bütün dairələr üçün bərabərdir. Bu ... həmişə 3,14159 deyil - tez-tez "p" üçün yunan məktub π kimi yazılmışdır Pi adlı sirli sayı. Pi, heç bir xüsusi nümunə olmadan əbədi davam edən sonsuz sayda onluğa malikdir:

Budur, diametri 1 olan bir çarx. Dövrəni "sökün", onun uzunluğunun tam olduğunu görə bilərsiniz :

01234π

Diametri d olan bir dairə üçün, dairədir C=π×d . Eynilə, radius r olan bir dairə üçün, dairədir

C= .

Dairələr mükəmməl simmetrikdir və bir çoxbucağın küncləri kimi "zəif nöqtələr" yoxdur. Bu onların təbiətdə hər yerdə tapılmasının səbəblərindən biridir:

Çiçəklər

Planetlər

Ağaclar

Meyvə

Sabun Bubbles

Və bir çox başqa nümunə var: göy qurşağından tutmuş su qırışlarına qədər. Başqa bir şey düşünə bilərsən?

Ayrıca bir dairənin müəyyən bir dairə üçün ən böyük sahəsi olan bir forma olduğu ortaya çıxır. Məsələn, uzunluğu 100  m olan bir ipiniz varsa, bir dairə meydana gətirsəniz (ən çox düzbucaqlı və ya üçbucaq kimi digər formalardan daha çox) onu istifadə edə bilərsiniz.

Təbiətdə su damcıları və ya hava baloncukları kimi əşyalar dairəvi və ya sferik hala gəlməklə və səth sahələrini azaltmaqla enerjiyə qənaət edə bilər.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Dövr = 100 , Sahə = ${area}

Bir dairənin sahəsi

Bəs bir dairənin sahəsini necə hesablayırıq? Dördrilateralların sahəsini tapmaq üçün istifadə etdiyimiz eyni texnikanı sınayın: şəklini bir çox fərqli hissəyə ayırırıq və daha sonra sahəsini (məsələn, düzbucaqlı və ya üçbucaq) bildiyimiz fərqli bir forma düzəldirik.

Yeganə fərq ondadır ki, dairələr əyri olduğu üçün bəzi yaxınlaşmalardan istifadə etməliyik:

rπr

Burada bölünmüş bir dairəni görə bilərsiniz ${toWord(n1)} xanalar. Dikləri bir sıra düzmək üçün sürüşəni sürüşdürün.

Əgər takozların sayını artırsaq ${n1} , bu forma daha çox .

Düzbucağın hündürlüyü bərabərdir dairənin . Düzbucağın eni bərabərdir dairənin . (Diklərin yarısının aşağı, yarısının yuxarı necə baxdığına diqqət yetirin.)

Buna görə düzbucağın ümumi sahəsi təxminən A=πr2 .

r2πr

Burada bölünmüş bir dairəni görə bilərsiniz ${toWord(n)} üzüklər. Əvvəllər olduğu kimi, kaydırıcıyı halqaları "bükmək" üçün hərəkət edə bilərsiniz.

Üzüklərin sayını artırsaq ${n2} , bu forma getdikcə daha çox .

Üçbucağın hündürlüyü bərabərdir . Üçbucağın əsası bərabərdir dairənin . Buna görə üçbucağın ümumi sahəsi təxminən

A=12base×height=πr2 .

Sonsuz sayda üzük və ya kəndirdən istifadə edə bilsək, yuxarıdakı yaxınlaşmalar mükəmməl olardı - və ikisi də bizə dairənin sahəsi üçün eyni formul verir:

A=πr2 .

Pi hesablanır

Yuxarıda gördüyünüz kimi π=3.1415926 sadə bir tam ədəd deyil və onun onluq rəqəmləri heç bir təkrarlanmadan, əbədi olaraq davam edir. Bu xassəyə malik nömrələrə irrasional ədədlər deyilir və bu o deməkdir π sadə bir fraksiya şəklində ifadə edilə bilməz ab .

Bu həm də Pi-nin bütün rəqəmlərini heç vaxt yaza bilməyəcəyimiz deməkdir - axırda sonsuz çoxdur. Qədim Yunan və Çin riyaziyyatçıları, Pi'nin ilk dörd onluq rəqəmini müntəzəm çoxbucaqlılardan istifadə edərək dairələri yaxınlaşdıraraq hesabladılar. Diqqət yetirin, daha çox tərəf əlavə etdikdə çoxbucaqlı görünməyə başlayır bir dairə kimi:

1665-ci ildə Isaac Newton 15 rəqəmi hesablamağı bacardı. Bu gün Pi dəyərini daha yüksək dəqiqliyə hesablamaq üçün güclü kompüterlərdən istifadə edə bilərik.

Mövcud rekord 31,4 trilyon rəqəmdir. Bütün bu rəqəmləri özündə əks etdirən çap kitabının qalınlığı təxminən 400  km olacaqdır - Beynəlxalq Kosmik Stansiyanın Yerin orbitinə çıxdığı hündürlükdür!

Əlbəttə ki, Pi rəqəmlərinin çox olduğunu xatırlamaq lazım deyil. Əslində fraksiya 227=3.142 böyük bir yaxınlaşmadır.

Pi hesablamaq üçün bir yanaşma sonsuz ədəd ardıcıllığından istifadə etməkdir. 1676-cı ildə Gottfried Vilhelm Leibniz tərəfindən kəşf edilmiş bir nümunə:

π=4143+4547+494+

Bu seriyanın daha çox şərtlərini hesabladığımız zaman, həmişə eyni nümunəni izləsək, nəticə Pi-yə daha da yaxınlaşacaqdır.

Bir çox riyaziyyatçı Pi'nin daha da maraqlı bir xüsusiyyətə sahib olduğuna inanır: bu normal bir saydır . Bu o deməkdir ki, 0-dan 9-a qədər olan rəqəmlər tamamilə təsadüfi görünür, sanki təbiət Pi dəyərini təyin etmək üçün 10 tərəfli bir zarın sonsuz dəfələrlə yuvarlandığını göstərir.

Burada Pi’nin ilk 100 rəqəmini görə bilərsiniz. Rəqəmlərin necə paylandığını görmək üçün bəzi hücrələr üzərində hərəkət edin.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Pi normaldırsa, bu hər hansı bir sətir barədə düşünə biləcəyiniz deməkdir və rəqəmlərində bir yerdə görünəcəkdir. Burada Pi'nin ilk bir milyon rəqəmini axtara bilərsiniz - bunlarda doğum gününüz var?

Bir milyon Pi rəqəmi

Search for a string of digits:
3.

Harri Potter kimi bütün bir kitabı çox uzun bir rəqəm sətirinə çevirə bilərdik (a = 01, b = 02 və s.). Pi normaldırsa, bu sətir rəqəmlərində bir yerdə görünəcək - ancaq tapmaq üçün kifayət qədər rəqəm hesablamaq milyonlarla il çəkəcək.

Pi anlamaq asandır, lakin elm və riyaziyyatda fundamental əhəmiyyətə malikdir. Bu, Pi'nin mədəniyyətimizdə qeyri-adi dərəcədə populyarlaşmasına səbəb ola bilər (ən azı, riyaziyyatın digər mövzularına nisbətən):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Hər il bir Pi günü var , ya da 14 Marta düşür, çünki π3.14 , və ya 22 iyulda, çünki π227 .

Archie